14秋季班09-二次函数的解析式学生版

二次函数内涵丰富,变化多端,它有三种形式的解析式:一般式,配方式和分解式.本节要讨论的是:怎样根据不同的已知条件解析式的选取;在不同的几何背景下怎样寻找确定解析式的条件;怎样根据二次函数的图像特征确定解析式的系数特征. 二次函数解析式的三种形式

bb4acb2,),对称轴是直线x 1.一般式: yaxbxc(a0),图像顶点坐标为(2a4a2a222.顶点式: ya(xm)k(a0),图像顶点坐标为(m,k),对称轴是直线xm

3.交点式: ya(xx1)(xx2),图像与x轴的交点坐标是A(x1,0),B(x2,0),对称轴是直线xx1x2 2例题精解

例1、如图,已知二次函数的图像与x轴两交点之间的距离是4个单位,且顶点M为(1,4),求此二次函数的解析式.

My 举一反三

根据已知条件,选择适当形式的解析式是求解二次函数解析式的关键.

1、根据下列条件,分别求出函数的解析式

（1）已知二次函数的图像经过点A(0,1),B(1,0),C(1,2) （2）已知抛物线的顶点为(1,3),且与y轴交于点(0,1) （3）已知抛物线经过A(3,0),B(5,0),C(0,3)三点

ANOBx

1

2、求分别满足以下条件的二次函数的解析式

（1）函数图像的对称轴是直线x2,与x轴的一个交点坐标是(5,0),与y轴的交点坐标是(0,)

53（2）函数图像经过(1,1),(0,1)两点,且函数图像最高点的纵坐标为

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顶点是抛物线中的特殊点,起到\"一个顶俩\"的作用.在下面的题目中,是否隐藏了顶点为已知点? 3、已知抛物线yxbxc与x轴只有一个公共点A(2,0),它与y轴的交点为B. （1）求b,c的值

y2（2）如图,点M为线段AB的中点,求图像经过O,M,A三点的二次函

B数的解析式.

M(1,2)

OAx

(1)几何背景下的二次函数解析式

二次函数与直线经常出现在同一个坐标平面上. 例题精解

例2、在坐标平面上,O为原点,已知点A(2,2),点B,C在y轴上，BC8,ABAC直线AB交x轴于点D.

(1)求点C,D的坐标

(2)求图像经过A,C,D三点的二次函数的解析式

2

举一反三

“三点确定一个二次函数的解析式”这句话对不对?请看下面的问题.

2-1 已知平面直角坐标系中两点A(1,2)和B(0,3),点C在x轴上,线段AC的长是22 （1）求点C的坐标

（2）如果一个二次函数的图像经过A,B,C三点,求这个二次函数的解析式.

2-2 已知抛物线yax4axt(a0)与x轴的一个交点为A(1,0) （1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标

（2）设D是抛物线与y轴的交点,C是抛物线上一点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求此抛物线的表达式.

在二次函数的图像中渗透三角比运算,是常见的代数与三角的综合问题.

2-3 如图,在直角坐标系xOy中,抛物线y2ax6ax6与y轴的公共点为A,第一象限点B,C在此抛物线上,AB∥x轴，AOBCOx,OC25 A.求点A、B、C的坐标 B.求抛物线的顶点坐标

3

22三、解析式系数特征的确定

根据函数图象的特征来确定系数a、b、c，以及由a、b、c组成的代数式的符号，是对二次函数解析式的进一步解读。 例题精解

例3、已知二次函数yaxbxc(a0)的图象如图所示，试确定一下各量的符号：

2a,b,c,b24ac,abc,abc,2ab,2ab

y1-10x举一反三

二次函数系数特征的题目常以选择题的形式出现，在一道题目中，要判断几个系数及其代数式的符号情况，要综合考虑，有时还要分类讨论。

3-1 几个二次函数yaxbxc(a0)，他们的图像如图所示，期中系数a,b,c的符号都相同的是（ ） yyyy xx x （A） （B） （C） （D） 22x3-2 如果二次函数yaxbxc(a0)的图象如图所示，那么点(ab,bc)在（ ） （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

3-3 二次函数yaxxa1的图象可能是（ ）

22

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内容提炼

（1）二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式yaxbxc (a0)，其中有a，b，c三个系数 （2）顶点式ya(xm)k(a0)，其中有a，m，k三个系数 （3）交点式ya(xx1)(xx2)(a0)，其中有a，x1，x2三个系数 （2）在特殊情况下,二次函数的解析式可采用简化形式,例如:

（1）已知抛物线对称轴是y轴(或顶点在y轴上),可设解析式为yaxc （2）已知抛物线顶点在x轴上,可设解析式为ya(xm)

2（3）已知抛物线经过原点,可设解析式为yaxbx或yax(xx1)

2222（4）若抛物线的顶点在原点,可设解析式为yax

（3）可以根据图像性质,适当转化条件,确定最佳求解析式的方案,例如

（1）已知抛物线的对称轴以及与x轴一个交点的坐标,可根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点的坐

标,从而采用分解式

（2）已知抛物线上有两点坐标的纵坐标相同,若设为(x1,y),(x2,y),则这两点肯定是关于抛物线的对称轴

对称,因而可以得到抛物线的对称轴方程为x2x1x2,从而采用配方式 2（3）已知抛物线的对称轴方程以及在x轴上截得的线段长,可求出与x轴两交点的坐标,从而采用分解式;

或已知抛物线在x轴上截得的线段长及与x轴一个交点的坐标,可求出与x轴的另一个交点的坐标(注意有两解),从而采用分解式,等等.

巩固提高（必做题，要求步骤完整，逻辑清晰）

1.若二次函数yaxbx的图像如图所示,则a,b的符合为( ) (A) a20,b0 (B) a0,b0 (C) a0,b0 (D) a0,b0

5

2.小强从如图所示的二次函数yaxbxc的图像中,观察得出了下面五条信息:

2(1)a0,(2)c1,(3)b0,(4)abc0,(5)abc0,你认为其中正确信息的个数有( )

(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个 3.已知二次函数yaxbxc的y与x的部分对应值如下表:

2

下列判断中,错误的是( )

A.抛物线开口向下；B.抛物线的顶点为(1,3) C.当x3时, y0；D.方程ax2bxc0有两个相等的实数根

2（4）已知y(a1)xax是二次函数,a的取值范围是 （5）若某二次函数图像的顶点在原点,且经过点(2,1),则此二次函数的解析式为

（6）已知抛物线yxbxc的对称轴为直线x1,且与x轴的一个交点为(3,0),则此抛物线的表达式是

（7）已知抛物线yxbxc的图像经过点(2,0),且与y轴交于点B,若OB=1,则该二次函数解析式中,一次项系数b为

（8）抛物线yxmxm1的对称轴是直线x2,则该抛物线的顶点坐标为

（9）对于任意实数x,二次函数yx8xm的值总满足y1,则m的值至少等于

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2222（10）已知二次函数的图像经过(0,1),(1,3),(1,3)三点,求这个二次函数的解析式,顶点坐标,并画出图像

（11）已知二次函数yx2bxc的图像经过点(0,3),(1,3) (1)试求此函数的解析式

(2)将此函数的图像沿y轴方向平移(向上或向下)多少个单位可以使其图像经过坐标原点?

（12）已知二次函数yax2bxc的图像经过点A(1,0),C(0,3),与x轴的另一个交点为B,

ABC的面积为6,求二次函数的解析式.

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互动探究

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